有限数学示例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ z y & x z & x y \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} | + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- x (1 (x y) - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- x (x y - x z) + y (1 (x y) - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z) + y (x y - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (1 (x z) - z y \cdot 1)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $x z$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y \cdot 1)$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- x (x y) - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

移动 $x$ 。

$- (x \cdot x) y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

移动 $x$ 。

$- x^{2} y - (x \cdot x) (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} y - x^{2} (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} y + 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.4.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y) + y (- z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.6.1

移动 $y$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y \cdot y x + y (- z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x + y (- z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.7

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y (z y) - z (x z - z y)$

解题步骤 5.8

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.8.1

移动 $y$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - (y \cdot y) z - z (x z - z y)$

解题步骤 5.8.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z - z y)$

解题步骤 5.9

运用分配律。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z) - z (- z y)$

解题步骤 5.10

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.10.1

移动 $z$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - (z \cdot z) x - z (- z y)$

解题步骤 5.10.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z (- z y)$

解题步骤 5.11

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.11.1

移动 $z$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - (z \cdot z) (- 1 y)$

解题步骤 5.11.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z^{2} (- 1 y)$

解题步骤 5.12

化简每一项。

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解题步骤 5.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - 1 \cdot - 1 z^{2} y$

解题步骤 5.12.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + 1 z^{2} y$

解题步骤 5.12.3

将 $z^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + z^{2} y$

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